Упр.4.51 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что расстояния от любых двух точек прямой до параллельной прямой равны.
Пусть $$a \parallel b$$, а $$A$$ и $$A_1$$ — произвольные точки на прямой $$a$$. Опустим из точки $$A_1$$ перпендикуляр $$A_1B_1$$ на прямую $$b$$. На прямой $$b$$ отложим от точки $$B_1$$ отрезок $$B_1B$$, равный отрезку $$AA_1$$, так чтобы точки $$A_1$$ и $$B$$ лежали по разные стороны от прямой $$AB_1$$.
Тогда углы $$\angle A_1AB_1$$ и $$\angle AB_1B$$ равны как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $$a$$ и $$b$$.
Рассмотрим треугольники $$AA_1B_1$$ и $$B_1AB$$. У них:
- $$AA_1 = B_1B$$ по построению;
- $$A_1B_1$$ — общая сторона;
- $$\angle A_1AB_1 = \angle AB_1B$$.
Следовательно, $$\triangle AA_1B_1 \cong \triangle B_1AB$$ по первому признаку равенства треугольников. Отсюда
$$AB = A_1B_1.$$
Но $$A_1B_1 \perp b$$, значит $$AB \perp b$$. Таким образом, расстояния от точек $$A$$ и $$A_1$$ прямой $$a$$ до параллельной прямой $$b$$ равны.
Следовательно, расстояния от любых двух точек одной прямой до параллельной ей прямой равны.
