Упр.14.51 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Прямая, перпендикулярная высоте треугольника, делит его площадь пополам. Найдите расстояние от этой прямой до вершины треугольника, из которой проведена высота, если она равна $$h$$.

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, $$BH=h$$ — его высота, а $$M$$ — точка пересечения данной прямой с высотой $$BH$$.

Обозначим точки пересечения этой прямой со сторонами треугольника через $$E$$ и $$F$$. По условию она делит площадь треугольника пополам, значит

$$\frac{S_{EBF}}{S_{ABC}}=\frac12.$$

Так как $$BH\perp AC$$ и $$BH\perp EF$$, то $$EF\parallel AC$$.

Тогда $$\angle BAC=\angle BEF$$ как соответственные углы при параллельных прямых $$EF$$ и $$AC$$. Кроме того, $$\angle B$$ — общий. Следовательно,

$$\triangle ABC\sim \triangle EFB.$$

Из подобия треугольников получаем

$$\left(\frac{EB}{AB}\right)^2=\frac{S_{EBF}}{S_{ABC}}=\frac12,$$

откуда

$$\frac{EB}{AB}=\frac1{\sqrt2}.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABH$$ и $$EMB$$. У них $$\angle B$$ — общий, а $$\angle H=\angle M=90^\circ$$, значит

$$\triangle ABH\sim \triangle EMB.$$

Следовательно,

$$\frac{BM}{BH}=\frac{EB}{AB}=\frac1{\sqrt2}.$$

Так как $$BH=h$$, то

$$BM=\frac{h}{\sqrt2}.$$

Ответ: $$\frac{h}{\sqrt2}$$.