Упр.11.50 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ лежат на окружности. Чему равна хорда $$AC$$, если угол $$ABC$$ равен $$30^\circ$$, а диаметр окружности — $$10\ \text{см}$$?

Пусть $$O$$ — центр окружности. Тогда вписанный угол $$\angle ABC$$ опирается на дугу $$AC$$, а соответствующий центральный угол $$\angle AOC$$ вдвое больше:

$$\angle AOC=2\angle ABC=2\cdot 30^\circ=60^\circ.$$

Диаметр окружности равен $$10$$ см, значит радиус:

$$AO=OC=\frac{10}{2}=5\text{ см}.$$

Треугольник $$AOC$$ равнобедренный, так как $$AO=OC$$. При этом его вершины̆ угол равен $$60^\circ$$, следовательно, оба угла при основании тоже равны $$60^\circ$$. Значит, треугольник $$AOC$$ равносторонний.

Тогда все его стороны равны, в частности:

$$AC=AO=5\text{ см}.$$

Ответ: $$5$$ см.