Упр.15.50 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 50. Высота конуса H. На каком расстоянии от вершины надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади основания?

Подробный ответ

Пусть $$P$$ — вершина конуса, $$O$$ — центр основания, а $$O_1$$ — центр сечения. Обозначим искомое расстояние от вершины до секущей плоскости через $$d$$.

Тогда $$OP=H$$, $$O_1P=d$$.

Возьмём точку $$A$$ на окружности основания и соответствующую ей точку $$A_1$$ на окружности сечения. Тогда $$OA=R$$, где $$R$$ — радиус основания, а $$O_1A_1$$ — радиус сечения.

Треугольники $$AOP$$ и $$A_1O_1P$$ подобны, так как оба прямоугольные и имеют общий острый угол при вершине $$P$$. Поэтому

$$\frac{O_1A_1}{OA}=\frac{O_1P}{OP}$$

откуда

$$O_1A_1=\frac{OA\cdot O_1P}{OP}=\frac{Rd}{H}.$$

Площадь основания конуса равна

$$S=\pi R^2,$$

а площадь сечения:

$$S_1=\pi (O_1A_1)^2=\pi\left(\frac{Rd}{H}\right)^2=\frac{\pi R^2d^2}{H^2}.$$

По условию $$S_1=\frac12 S$$, значит

$$\frac{\pi R^2d^2}{H^2}=\frac12\pi R^2.$$

Сокращая на $$\pi R^2$$, получаем

$$\frac{d^2}{H^2}=\frac12,$$