Упр.14.50 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: через середину высоты треугольника проведена прямая,
перпендикулярная к ней;
Найти: в каком отношении эта прямая делит площадь треугольника;
Доказательство:
1) Пусть ABC-данный треугольник, BH-высота и точка M-середина
высоты BH, тогда по условию задачи: BM/BH=1/2;
2) Отметим точки E и F на пересечении данной прямой со сторонами
треугольника ABC;
3) BH перпендикулярен AC и BH перпендикулярен EF, значит EF||AC;
4) Рассмотрим параллельные прямые EF||AC и секущую AB:
угол BAC=угол BEF (как соответственные углы);
5) треугольник ABH ~ треугольник EMB по двум углам (угол B-общий и угол H=угол M=90°), значит:
EB/AB=BM/BH=1/2;
6) треугольник ABC ~ треугольник EFB по двум углам (угол B-общий и угол BAC=угол BEF), значит:
BF/BC=EB/AB=1/2;
7) Значит площади этих треугольников относятся как:
SEFB/SABC =(BF/BC)^2=(1/2)^2=1/4;
Ответ: 1:4.

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, $$BH$$ — его высота, а $$M$$ — середина высоты $$BH$$. Тогда

$$\frac{BM}{BH}=\frac{1}{2}.$$

Пусть прямая, проведённая через точку $$M$$ перпендикулярно $$BH$$, пересекает стороны $$AB$$ и $$BC$$ в точках $$E$$ и $$F$$.

Так как $$BH \perp AC$$ и $$EF \perp BH$$, то $$EF \parallel AC$$.

Рассмотрим треугольники $$ABH$$ и $$EMB$$. У них

$$\angle AHB=\angle EMB=90^\circ,$$

$$\angle ABH=\angle EBM,$$

значит, $$\triangle ABH \sim \triangle EMB$$. Отсюда

$$\frac{EB}{AB}=\frac{BM}{BH}=\frac{1}{2}.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$EFB$$. Так как $$EF \parallel AC$$, то

$$\angle BAC=\angle BEF,$$

а угол $$B$$ у них общий, значит, $$\triangle ABC \sim \triangle EFB$$. Следовательно,

$$\frac{BF}{BC}=\frac{EB}{AB}=\frac{1}{2}.$$

Тогда отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{EFB}}{S_{ABC}}=\left(\frac{BF}{BC}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}.$$

Значит, одна часть составляет $$\frac{1}{4}$$ всей площади, а другая — $$\frac{3}{4}$$. Поэтому искомое отношение равно $$1:3$$.

Ответ

$$1:3$$