Упр.4.50 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Отрезок $$BC$$ пересекает прямую $$a$$ в точке $$O$$. Расстояния от точек $$B$$ и $$C$$ до прямой $$a$$ равны. Докажите, что точка $$O$$ является серединой отрезка $$BC$$.

Опустим из точек $$B$$ и $$C$$ перпендикуляры $$BA$$ и $$CD$$ на прямую $$a$$. Тогда $$AB=CD$$, так как точки $$B$$ и $$C$$ равноудалены от прямой $$a$$.

Рассмотрим треугольники $$BOA$$ и $$COD$$. У них:

• $$\angle BAO=\angle CDO=90^\circ$$;
• $$\angle BOA=\angle COD$$ как вертикальные;
• $$AB=CD$$.

Следовательно, треугольники $$BOA$$ и $$COD$$ равны по катету и прилежащему острому углу. Отсюда $$BO=OC$$.

Значит, точка $$O$$ является серединой отрезка $$BC$$.

Ответ: $$O$$ — середина отрезка $$BC$$.