Упр.15.50 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Высота конуса $$H$$. На каком расстоянии от вершины надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади основания?

Подробный ответ

Пусть $$P$$ — вершина конуса, $$O$$ — центр основания, $$O_1$$ — центр сечения, а $$d$$ — расстояние от вершины до плоскости сечения. Тогда $$OP=H$$, $$OO_1=d$$.

Возьмём точку $$A$$ на окружности основания и соответствующую ей точку $$A_1$$ на окружности сечения. Тогда $$OA=R$$, где $$R$$ — радиус основания, а $$O_1A_1$$ — радиус сечения.

Треугольники $$AOP$$ и $$A_1O_1P$$ подобны, так как оба прямоугольные и имеют общий острый угол при вершине $$P$$. Поэтому

$$\frac{O_1A_1}{OA}=\frac{O_1P}{OP}.$$

Отсюда

$$O_1A_1=\frac{OA\cdot O_1P}{OP}=\frac{Rd}{H}.$$

Площади основания и сечения равны соответственно

$$S=\pi R^2,$$

$$S_1=\pi (O_1A_1)^2=\pi \left(\frac{Rd}{H}\right)^2=\pi \frac{R^2d^2}{H^2}.$$

По условию $$S_1=\frac12 S$$, значит

$$\pi \frac{R^2d^2}{H^2}=\frac12 \pi R^2.$$

Сокращая на $$\pi R^2$$, получаем

$$\frac{d^2}{H^2}=\frac12,$$

откуда