Упр.14.50 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Через середину высоты треугольника проведена перпендикулярная к ней прямая. В каком отношении она делит площадь треугольника?

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, $$BH$$ — его высота, а $$M$$ — середина высоты $$BH$$. Тогда

$$\frac{BM}{BH}=\frac12.$$

Проведённая через точку $$M$$ прямая перпендикулярна $$BH$$, значит она параллельна основанию $$AC$$:

$$EF \parallel AC.$$

Рассмотрим треугольники $$ABH$$ и $$EMB$$. У них

$$\angle AHB=\angle EMB=90^\circ$$,
$$\angle ABH=\angle EBM$$, так как это один и тот же угол при вершине $$B$$.

Следовательно, $$\triangle ABH \sim \triangle EMB$$, и потому

$$\frac{EB}{AB}=\frac{BM}{BH}=\frac12.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$EFB$$. Так как $$EF \parallel AC$$, то

$$\angle BAC=\angle BEF,$$

а угол $$B$$ у них общий. Значит, $$\triangle ABC \sim \triangle EFB$$, и

$$\frac{BF}{BC}=\frac{EB}{AB}=\frac12.$$

Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия:

$$\frac{S_{EFB}}{S_{ABC}}=\left(\frac{BF}{BC}\right)^2=\left(\frac12\right)^2=\frac14.$$

Значит, одна часть площади составляет $$\frac14$$ всей площади треугольника, а другая — $$\frac34$$. Следовательно, прямая делит площадь треугольника в отношении

$$1:3.$$

Ответ: $$1:3$$.