Упр.6.5 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что у четырёхугольника, описанного около окружности, суммы противолежащих сторон равны.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный четырёхугольник, описанный около окружности, а $$E, F, K, N$$ — точки касания окружности со сторонами $$AD, AB, BC, CD$$ соответственно.

Тогда отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны:

$$AE=AF,\quad BF=BK,\quad CK=CN,\quad DN=DE.$$

Сложим соответствующие равные отрезки:

$$AB+CD=(AF+FB)+(CN+ND)$$
$$=AE+BK+CK+DE$$
$$=(AE+DE)+(BK+CK)$$
$$=AD+BC.$$

Следовательно, суммы противолежащих сторон четырёхугольника равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$