Упр.13.5 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что у замкнутой ломаной длина каждого звена не больше суммы длин остальных звеньев.

Пусть замкнутая ломаная состоит из звеньев $$A_1A_2,\ A_2A_3,\ \ldots,\ A_{n-1}A_n,\ A_nA_1.$$

Возьмём любое её звено, например $$A_kA_{k+1}.$$ Если мысленно удалить это звено, то остальные звенья образуют незамкнутую ломаную, соединяющую точки $$A_k$$ и $$A_{k+1}.$$

По теореме о ломаной длина отрезка, соединяющего концы незамкнутой ломаной, меньше суммы длин её звеньев. Значит,

$$A_kA_{k+1}<A_1A_2+A_2A_3+\cdots+A_{k-1}A_k+A_{k+1}A_{k+2}+\cdots+A_nA_1.$$

Следовательно, длина любого звена замкнутой ломаной меньше суммы длин остальных звеньев. Тем более она не больше этой суммы.

Ответ: длина каждого звена замкнутой ломаной не больше суммы длин остальных звеньев.