Вопрос 5 Параграф 14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: площадь треугольника равна половине произведения двух
любых его сторон на синус угла между ними;
Доказательство:
1) Пусть ABC-данный треугольник;
2) Из вершины B проведем высоту BD треугольника к стороне AC;
3) По доказанному в предыдущей задаче: S=1/2 AC•BD;
4) В прямоугольном треугольнике ABD:
— BD=AB•sin угла A, если угол A-острый (рисунок а);
— BD=AB•sin(180°-угол A), если угол A-тупой (рисунок б);
5) sin(180°-угол A)=sin угла A, следовательно в любом случае имеем:
BD=AB•sin угла A;
6) Значит площадь треугольника ABC равна:
S=1/2 AC•BD=1/2 AC•AB•sin угла A, что и требовалось доказать.

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник. Проведём из вершины $$B$$ высоту $$BD$$ к стороне $$AC$$.

Тогда площадь треугольника равна

$$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABD$$.

Если угол $$A$$ острый, то

$$BD=AB\sin \angle A.$$

Если угол $$A$$ тупой, то

$$BD=AB\sin(180^\circ-\angle A).$$

Но

$$\sin(180^\circ-\angle A)=\sin \angle A,$$

значит, в любом случае

$$BD=AB\sin \angle A.$$

Подставим это в формулу площади:

$$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}AC\cdot AB\sin \angle A.$$

Следовательно, площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Аналогично, выбирая любую другую сторону в качестве основания, получаем общий вид:

$$S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma,$$

где $$a$$ и $$b$$ — любые две стороны треугольника, а $$\gamma$$ — угол между ними.