Упр.10.49 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что проекция $$a$$ вектора $$c$$ на ось абсцисс с координатным вектором $$e_1(1; 0)$$ задаётся формулой $$a = ke_1$$, где $$k = ce_1$$.

Пусть $$\vec c=(c_1;c_2)$$ — произвольный вектор, а $$\vec e_1=(1;0)$$ — координатный вектор оси абсцисс.

Проекция вектора $$\vec c$$ на ось $$Ox$$ имеет ту же абсциссу, что и сам вектор, а ордината его проекции равна нулю. Значит, если $$\vec a$$ — эта проекция, то

$$\vec a=(c_1;0).$$

С другой стороны, скалярное произведение $$\vec c\cdot \vec e_1$$ равно

$$\vec c\cdot \vec e_1=c_1\cdot 1+c_2\cdot 0=c_1.$$

Тогда

$$k\vec e_1=c_1(1;0)=(c_1;0).$$

Следовательно,

$$\vec a=k\vec e_1,$$

где

$$k=\vec c\cdot \vec e_1.$$

Что и требовалось доказать.