Упр.1.49 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что если луч, исходящий из вершины угла, пересекает отрезок $$AB$$ с концами на сторонах угла, то он пересекает:
1) отрезок $$AC$$ с концами на сторонах угла;
2) любой отрезок $$CD$$ с концами на сторонах угла (рис. 30).

Подробный ответ

Так как луч $$OK$$ пересекает отрезок $$AB$$ с концами на сторонах угла $$AOB$$, то он лежит между сторонами этого угла.

Продолжим луч $$OK$$ до прямой $$OK$$. Эта прямая разделяет плоскость на две полуплоскости. Поскольку луч $$OK$$ расположен между сторонами угла, точки $$A$$ и $$B$$ лежат в разных полуплоскостях.

1) Отрезок $$AC$$ имеет концы на сторонах угла $$AOB$$, значит точки $$A$$ и $$C$$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $$OK$$. Следовательно, отрезок $$AC$$ пересекает луч $$OK$$.

2) Аналогично, если отрезок $$CD$$ имеет концы на сторонах угла $$AOB$$, то точки $$C$$ и $$D$$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $$OK$$. Значит, отрезок $$CD$$ также пересекает луч $$OK$$.

Таким образом, луч $$OK$$ пересекает любой отрезок с концами на сторонах угла $$AOB$$.