Упр.15.49 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: конус пересечен плоскостью, параллельной основанию на
расстоянии d от вершины; радиус основания конуса R, а высота H;
Найти: площадь сечения;
Решение:
1) Пусть P-вершина данного конуса, точка O-центр его основания,
а точка O1-центр сечения, тогда:
OP=H и O1 P=d;
2) Отметим произвольную точку A на окружности основания и точку A1
на пересечении отрезка AP с окружностью сечения, тогда:
OA=R и O1 A1-радиус сечения;
3) Прямоугольные треугольники AOP и A1 O1 P подобны по общему
острому углу P, значит:
(O1 A1)/OA=(O1 P)/OP, отсюда O1 A1=(OA•O1 P)/OP=Rd/H;
4) Найдем площадь сечения:
S=Пи•(O1 A1 )^2=(ПиR^2 d^2)/H^2 .
Ответ: (ПиR^2 d^2)/H^2 .

Подробный ответ

Пусть $$P$$ — вершина конуса, $$O$$ — центр основания, $$O_1$$ — центр сечения. Тогда $$OP=H$$, а $$PO_1=d$$.

Возьмём точку $$A$$ на окружности основания и соответствующую ей точку $$A_1$$ на окружности сечения. Тогда $$OA=R$$, а $$O_1A_1$$ — радиус сечения.

Треугольники $$AOP$$ и $$A_1O_1P$$ прямоугольные и подобны, так как имеют общий острый угол при вершине $$P$$. Поэтому

$$ \frac{O_1A_1}{OA}=\frac{O_1P}{OP} $$

Отсюда

$$ O_1A_1=\frac{OA\cdot O_1P}{OP}=\frac{Rd}{H}. $$

Площадь сечения — это площадь круга радиуса $$O_1A_1$$:

$$ S=\pi (O_1A_1)^2=\pi\left(\frac{Rd}{H}\right)^2=\frac{\pi R^2 d^2}{H^2}. $$