Упр.14.49 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что площадь многоугольника, описанного около окружности, равна половине произведения периметра многоугольника на радиус окружности.

Пусть $$A_1A_2A_3\dots A_n$$ — многоугольник, описанный около окружности радиуса $$R$$ с центром в точке $$O$$.

Обозначим точки касания окружности со сторонами многоугольника через $$H_1,H_2,\dots,H_n$$. Тогда

$$OH_1=OH_2=\dots=OH_n=R,$$

а радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны соответствующим сторонам многоугольника.

Разобьём многоугольник на треугольники:

$$A_1OA_2,\ A_2OA_3,\ \dots,\ A_nOA_1.$$

Тогда площадь многоугольника равна сумме площадей этих треугольников:

$$S=S_{A_1OA_2}+S_{A_2OA_3}+\dots+S_{A_nOA_1}.$$

Для каждого треугольника высота, опущенная из точки $$O$$ на соответствующую сторону, равна $$R$$. Поэтому

$$S=\frac12 A_1A_2\cdot R+\frac12 A_2A_3\cdot R+\dots+\frac12 A_nA_1\cdot R.$$

Вынесем $$\frac12 R$$ за скобки:

$$S=\frac12 R\,(A_1A_2+A_2A_3+\dots+A_nA_1).$$

Но

$$p=A_1A_2+A_2A_3+\dots+A_nA_1$$

— периметр многоугольника. Значит,

$$S=\frac12 pR.$$

Что и требовалось доказать.