Упр.11.48 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Золотым сечением называется деление отрезка длины $$d=a+b$$ на две части, при котором большая часть $$a$$ является средней пропорциональной величиной между длиной всего отрезка $$d$$ и меньшей частью $$b$$. Найдите $$a$$, если $$b=1$$.

Так как при золотом сечении большая часть $$a$$ является средней пропорциональной между длиной всего отрезка $$d$$ и меньшей частью $$b$$, то

$$a^2=d\cdot b.$$

По условию $$b=1$$, значит

$$a^2=d.$$

Кроме того, $$d=a+b=a+1$$. Тогда

$$a^2=a+1.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$a^2-a-1=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-1)=5,$$

$$a=\frac{1\pm\sqrt5}{2}.$$

Так как $$a>b=1$$, берём положительный корень:

$$a=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx 1{,}618.$$

Ответ: $$\frac{1+\sqrt5}{2}\approx 1{,}618.$$