Упр.10.48 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Даны три точки $$О$$, $$А$$, $$В$$. Точка $$X$$ делит отрезок $$АВ$$ в отношении $$\lambda:\mu$$, считая от точки $$А$$. Выразите вектор $$\overrightarrow{ОХ}$$ через векторы $$\overrightarrow{ОА}=\mathbf{a}$$ и $$\overrightarrow{ОВ}=\mathbf{b}$$.
2. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении $$2:1$$, считая от соответствующих вершин.

1) Пусть $$\overrightarrow{OA}=\vec a,$$ $$\overrightarrow{OB}=\vec b.$$ Точка $$X$$ делит отрезок $$AB$$ в отношении $$\lambda:\mu$$, считая от точки $$A$$. Тогда

$$\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AX}$$

а

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\vec b-\vec a.$$

Так как $$AX:XB=\lambda:\mu,$$ то

$$\overrightarrow{AX}=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\,\overrightarrow{AB}=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}(\vec b-\vec a).$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{OX}=\vec a+\frac{\lambda}{\lambda+\mu}(\vec b-\vec a) =\frac{\mu\vec a+\lambda\vec b}{\lambda+\mu}.$$

2) Пусть в треугольнике $$ABC$$ точки $$A_1$$ и $$C_1$$ — середины сторон $$BC$$ и $$AB$$ соответственно, а медианы $$AA_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в точке $$O$$. Обозначим

$$\overrightarrow{AC}=\vec b,\qquad \overrightarrow{AB}=\vec c.$$

Тогда, так как $$A_1$$ — середина $$BC,$$ имеем

$$\overrightarrow{AA_1}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} =\frac{1}{2}\vec c+\frac{1}{2}\vec b.$$

А так как $$C_1$$ — середина $$AB,$$ то

$$\overrightarrow{AC_1}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\vec c.$$

Пусть точка $$O$$ делит медиану $$CC_1$$ в отношении $$\lambda:\mu$$, считая от вершины $$C$$. Тогда по формуле из пункта 1

$$\overrightarrow{AO}=\frac{\mu\overrightarrow{AC}+\lambda\overrightarrow{AC_1}}{\lambda+\mu} =\frac{\mu\vec b+\frac{\lambda}{2}\vec c}{\lambda+\mu}.$$

С другой стороны, если точка $$O$$ лежит и на медиане $$AA_1,$$ то для некоторого отношения $$\alpha:\beta$$

$$\overrightarrow{AO}=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{AA_1}.$$

Сравнивая коэффициенты при $$\vec b$$ и $$\vec c,$$ получаем, что точка пересечения медиан делит каждую медиану в одном и том же отношении

$$2:1,$$

считая от соответствующей вершины. Значит, все медианы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка делит их в отношении $$2:1$$ от вершин.

Ответ: $$\overrightarrow{OX}=\dfrac{\mu\vec a+\lambda\vec b}{\lambda+\mu}$$; медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении $$2:1$$, считая от вершины.