Упр.15.48 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: радиус основания конуса R; осевым сечением конуса является
прямоугольный треугольник;
Найти: площадь этого сечения;
Решение:
1) Пусть P-вершина данного конуса и O-центр его основания, тогда:
PO-высота данного конуса;
2) Проведем диаметр AB основания конуса, тогда по условию задачи:
AO=OB=R, AB=2R и угол APB=90°;
3) Точка O-середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, значит
она является центром описанной около него окружности, то есть:
OP=OA=OB=R;
4) Найдем площадь треугольника APB:
S=1/2 AB•OP=1/2•2R•R=R^2;
Ответ: R^2.

Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник, у которого основание равно диаметру основания конуса, то есть $$AB=2R$$, а высота проходит через центр основания $$O$$.

По условию осевое сечение — прямоугольный треугольник. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому точка $$O$$ — середина гипотенузы $$AB$$. Следовательно, $$OP=OA=OB=R$$.

Тогда площадь осевого сечения равна

$$ S=\frac{1}{2}\cdot AB \cdot OP $$
$$ S=\frac{1}{2}\cdot 2R \cdot R=R^2 $$

Ответ

$$R^2$$