Упр.1.48 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Отрезки АВ и CD, не лежащие на одной прямой, пересекаются в точке Е. Докажите, что отрезок АС не пересекает прямую BD (рис. 29).

Прямая $$BD$$ делит плоскость на две полуплоскости $$m$$ и $$n$$.

Предположим, что отрезок $$AC$$ пересекает прямую $$BD$$. Тогда точки $$A$$ и $$C$$ лежат в разных полуплоскостях: пусть $$A \in m$$, а $$C \in n$$.

Так как отрезок $$AB$$ пересекает прямую $$BD$$ в точке $$B$$, то все его точки, в том числе точка $$E$$, лежат в одной полуплоскости, например в $$m$$. Аналогично, так как отрезок $$CD$$ пересекает прямую $$BD$$ в точке $$D$$, то точка $$E$$ должна лежать в полуплоскости $$n$$.

Получаем, что одна и та же точка $$E$$ принадлежит одновременно двум разным полуплоскостям, что невозможно. Значит, наше предположение неверно.

Следовательно, отрезок $$AC$$ не пересекает прямую $$BD$$.