Упр.14.48 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: катеты прямоугольного треугольника равны 40 см и 42 см;
Найти: радиусы описанной R и вписанной r окружностей;
Решение:
1) Пусть a=40 см и b=42 см-катеты, а c-гипотенуза данного
прямоугольного треугольника;
2) По теореме Пифагора:
c=v(a^2+b^2 )=v(40^2+42^2 )=v(1600+1764)=v3364=58 см;
3) В задаче 11 параграфа 52 было доказано, что центром описанной
около прямоугольного треугольника окружности, является середина
гипотенузы, значит ее радиус равен:
R=c/2=58/2=29 см;
4) Согласно доказанному в предыдущей задаче радиус вписанной в
треугольник окружности равен:
r=(a+b-c)/2=(40+42-58)/2=24/2=12 см;
Ответ: R=29 см и r=12 см.

Подробный ответ

Пусть $$a=40$$ см и $$b=42$$ см — катеты прямоугольного треугольника, а $$c$$ — его гипотенуза.

По теореме Пифагора:

$$ c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{40^2+42^2}=\sqrt{1600+1764}=\sqrt{3364}=58\text{ см}. $$

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности — середина гипотенузы, поэтому

$$ R=\frac{c}{2}=\frac{58}{2}=29\text{ см}. $$

Радиус вписанной окружности равен

$$ r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{40+42-58}{2}=\frac{24}{2}=12\text{ см}. $$