Упр.10.48 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

2) Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2:1, считая от соответствующих вершин.

Подробный ответ

1) Пусть $$\overrightarrow{OA}=\vec a,$$ $$\overrightarrow{OB}=\vec b.$$ Точка $$X$$ делит отрезок $$AB$$ в отношении $$\lambda:\mu$$, считая от точки $$A$$, то есть $$AX:XB=\lambda:\mu.$$

По правилу треугольника

$$\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AX}.$$

Кроме того,

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\vec b-\vec a.$$

Так как $$AX:XB=\lambda:\mu,$$ то

$$\overrightarrow{AX}=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\,\overrightarrow{AB}=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}(\vec b-\vec a).$$

Тогда

$$ \overrightarrow{OX} =\vec a+\frac{\lambda}{\lambda+\mu}(\vec b-\vec a) =\frac{\mu\vec a+\lambda\vec b}{\lambda+\mu}. $$

2) Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Пусть $$A_1$$ и $$C_1$$ — середины сторон $$BC$$ и $$AB$$ соответственно, а медианы $$AA_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в точке $$O$$.

Обозначим

$$\overrightarrow{AC}=\vec b,\qquad \overrightarrow{AB}=\vec c.$$

Тогда, так как $$C_1$$ — середина $$AB,$$ имеем

$$\overrightarrow{AC_1}=\frac12\overrightarrow{AB}=\frac12\vec c.$$

По формуле из пункта 1 для точки $$O$$ на отрезке $$CC_1$$:

$$ \overrightarrow{AO} =\frac{\mu\overrightarrow{AC}+\lambda\overrightarrow{AC_1}}{\lambda+\mu} =\frac{\mu\vec b+\frac12\lambda\vec c}{\lambda+\mu}. $$

Аналогично, так как $$A_1$$ — середина $$BC,$$ то

$$\overrightarrow{AA_1}=\frac12\overrightarrow{AC}+\frac12\overrightarrow{AB}=\frac12\vec b+\frac12\vec c.$$

Векторы $$\overrightarrow{AO}$$ и $$\overrightarrow{AA_1}$$ коллинеарны, значит, их коэффициенты при $$\vec b$$ и $$\vec c$$ пропорциональны. Отсюда

$$ \frac{\mu}{\lambda+\mu}:\frac12=\frac{\frac12\lambda}{\lambda+\mu}:\frac12, $$

то есть

$$\mu=\frac12\lambda,\qquad \lambda=2\mu.$$

Следовательно,

$$\frac{CO}{OC_1}=\frac{\lambda}{\mu}=2:1,$$

то есть медиана $$CC_1$$ делится точкой пересечения медиан в отношении $$2:1,$$ считая от вершины $$C.$$

Аналогично получаем, что и другие медианы делятся в том же отношении. Значит, все медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от соответствующей вершины.