Упр.4.48 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- 4-48. Докажите, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Проведём биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ треугольника $$ABC$$. Они пересекутся в точке $$O$$.
Опустим из точки $$O$$ перпендикуляры $$OD$$, $$OE$$ и $$OF$$ на стороны $$AC$$, $$AB$$ и $$BC$$ соответственно.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AOD$$ и $$AOE$$. У них:
- $$AO$$ — общая гипотенуза;
- $$\angle OAD = \angle OAE$$, так как $$AO$$ — биссектриса угла $$A$$.
Следовательно, $$\triangle AOD \cong \triangle AOE$$ по гипотенузе и острому углу. Значит, $$OD = OE$$.
Аналогично, прямоугольные треугольники $$BOE$$ и $$BOF$$ равны, поэтому $$OE = OF$$.
Отсюда получаем:
$$OD = OE = OF.$$
Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $$COD$$ и $$COF$$. У них:
- $$CO$$ — общая гипотенуза;
- $$OD = OF$$.
Следовательно, $$\triangle COD \cong \triangle COF$$ по гипотенузе и катету. Тогда
$$\angle OCD = \angle OCF.$$
Значит, луч $$CO$$ — биссектриса угла $$C$$.
Итак, все три биссектрисы треугольника $$ABC$$ пересекаются в одной точке $$O$$.
