Упр.15.48 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Радиус основания конуса $$R$$. Осевым сечением является прямоугольный треугольник. Найдите его площадь.

Пусть $$P$$ — вершина конуса, $$O$$ — центр основания. Тогда $$PO$$ — высота конуса, а осевое сечение проходит через диаметр основания.

Проведём диаметр $$AB$$ основания. Тогда $$AO=OB=R$$, значит $$AB=2R$$. По условию осевое сечение — прямоугольный треугольник $$APB$$, причём прямой угол находится при вершине $$P$$.

В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы равноудалена от всех его вершин. Так как $$O$$ — середина гипотенузы $$AB$$, то

$$OP=OA=OB=R.$$

Теперь найдём площадь осевого сечения:

$$S_{APB}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot OP =\frac{1}{2}\cdot 2R\cdot R =R^2.$$

Ответ: $$R^2$$.