Упр.5.47 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Найти: точку X, которая одинаково удалена от точек A и B и
одинаково удалена от точек C и D;
Решение:
1) Пусть A, B, C и D данные точки.
2) Построим серединный перпендикуляр к отрезку AB, для чего:
— Проведем окружности радиуса AB из точек A и B;
— Проведем прямую через точки пересечения этих окружностей;
3) Согласно теореме 5.3 любая точка этого перпендикуляра равно-
удалена от точек A и B;
4) Аналогично построим серединный перпендикуляр к отрезку CD,
каждая точка этого перпендикуляра равноудлена от точек C и D;
5) На пересечениии серединных перпендикуляров к отрезкам AB и CD
отметим точку X;
6) Точка X-искомая.

Подробный ответ

Точка, равноудалённая от точек $$A$$ и $$B$$, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$AB$$. Аналогично, точка, равноудалённая от точек $$C$$ и $$D$$, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$CD$$.

Построим серединный перпендикуляр к отрезку $$AB$$: для этого проведём окружности с центрами в точках $$A$$ и $$B$$ и одинаковым радиусом $$AB$$. Прямая, проходящая через точки их пересечения, и будет серединным перпендикуляром к $$AB$$.

Аналогично строим серединный перпендикуляр к отрезку $$CD$$.

Искомая точка $$X$$ — это точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $$AB$$ и $$CD$$. Тогда $$XA=XB$$ и $$XC=XD$$.