Упр.11.47 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- 11.47. Докажите, что геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек постоянно (не равно единице), есть окружность.
Пусть для точки $$M$$ выполняется условие
$$\frac{AM}{BM}=k,\qquad k\ne 1.$$
Проведём в треугольнике $$ABM$$ биссектрису $$MC$$ угла $$AMB$$. По свойству биссектрисы
$$\frac{AC}{BC}=\frac{AM}{BM}=k.$$
Значит, точка $$C$$ не зависит от выбора точки $$M$$.
Теперь проведём биссектрису внешнего угла при вершине $$M$$ треугольника $$ABM$$; пусть она пересекает прямую $$AB$$ в точке $$D$$. Тогда по свойству биссектрисы внешнего угла
$$\frac{AD}{BD}=\frac{AM}{BM}=k.$$
Следовательно, точка $$D$$ тоже не зависит от выбора точки $$M$$.
Прямые $$MC$$ и $$MD$$ — биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине $$M$$, поэтому они перпендикулярны:
$$\angle CMD=90^\circ.$$
Обозначим через $$O$$ середину отрезка $$CD$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$CMD$$ точка $$O$$ — середина гипотенузы, значит
$$OC=OD=OM.$$
Так как отрезок $$CD$$ не зависит от выбора точки $$M$$, то и точка $$O$$ постоянна. Следовательно, все точки $$M$$, для которых $$\dfrac{AM}{BM}=k$$, равноудалены от одной и той же точки $$O$$.
Значит, геометрическое место таких точек есть окружность.
