Упр.4.47 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 47. В треугольнике АBС медиана BD равна половине стороны АС. Найдите угол В треугольника.

Так как $$BD$$ — медиана, то $$AD=DC=\frac{1}{2}AC$$. По условию $$BD=\frac{1}{2}AC$$, значит

$$AD=DC=BD.$$

Следовательно, треугольник $$ABD$$ равнобедренный, поэтому

$$\angle DAB=\angle ABD.$$

Аналогично, треугольник $$BCD$$ равнобедренный, значит

$$\angle DBC=\angle DCB.$$

Найдём угол $$\angle ABC$$:

$$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC.$$

В треугольнике $$ABD$$:

$$\angle DAB+\angle ABD+\angle BDA=180^\circ,$$

откуда

$$\angle DAB=\angle ABD=\frac{180^\circ-\angle BDA}{2}=90^\circ-\frac{1}{2}\angle BDA.$$

Смежный с ним угол

$$\angle BDC=180^\circ-\angle BDA.$$

В треугольнике $$BCD$$:

$$\angle DBC=\angle DCB=\frac{180^\circ-\angle BDC}{2}.$$

Подставим $$\angle BDC=180^\circ-\angle BDA$$:

$$\angle DBC=90^\circ-\frac{1}{2}(180^\circ-\angle BDA)=\frac{1}{2}\angle BDA.$$

Тогда

$$\angle ABC=\left(90^\circ-\frac{1}{2}\angle BDA\right)+\frac{1}{2}\angle BDA=90^\circ.$$

Ответ

$$90^\circ$$