Упр.14.47 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности
равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой;
Доказательство:
1) Пусть a и b-катеты, а c-гипотенуза прямоугольного треугольника;
2) Площадь прямоугольного треугольника равна: S=1/2•ab;
3) По теореме Пифагора: c^2=a^2+b^2;
4) Найдем радиус вписанной окружности по формуле из задачи 14.42:
r=2S/(a+b+c)=ab/(a+b+c)=(ab•(a+b-c))/((a+b+c)•(a+b-c) )=(ab•(a+b-c))/((a+b)^2-c^2 )=
=(ab•(a+b-c))/(2ab+a^2+b^2-c^2 )=(ab•(a+b-c))/2ab=(a+b-c)/2,
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$a$$ и $$b$$ — катеты прямоугольного треугольника, а $$c$$ — его гипотенуза.

Площадь такого треугольника равна

$$S=\frac{1}{2}ab.$$

С другой стороны, для любого треугольника радиус вписанной окружности выражается формулой

$$r=\frac{2S}{a+b+c}.$$

Подставим сюда найденную площадь:

$$r=\frac{ab}{a+b+c}.$$

Умножим числитель и знаменатель на $$a+b-c$$:

$$r=\frac{ab(a+b-c)}{(a+b+c)(a+b-c)}.$$

В знаменателе получаем разность квадратов:

$$r=\frac{ab(a+b-c)}{(a+b)^2-c^2}.$$