Упр.6.47 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Из данной точки проведены к окружности две взаимно перпендикулярные касательные, радиус окружности — $$10\ \text{см}$$. Найдите длины касательных (расстояние от данной точки до точки касания).

Пусть $$A$$ — данная точка, $$O$$ — центр окружности, $$B$$ и $$C$$ — точки касания. Тогда $$AB$$ и $$AC$$ — касательные, а значит, $$OB \perp AB$$ и $$OC \perp AC$$.

По условию $$AB \perp AC$$. Следовательно, в четырёхугольнике $$ABOC$$ три угла равны $$90^\circ$$, значит, и четвёртый угол тоже равен $$90^\circ$$. Поэтому $$ABOC$$ — прямоугольник.

Кроме того, $$OB=OC=10$$ см как радиусы окружности. В прямоугольнике противоположные стороны равны, значит

$$AB=OC=10\text{ см}, \qquad AC=OB=10\text{ см}.$$

Итак, длины обеих касательных равны $$10$$ см.

Ответ: $$10$$ см.