Упр.5.46 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Найти: точку на данной прямой, равноудаленную от двух данных точек;
Решение:
1) Пусть даны точки точки A и B и прямая a.
2) Построим серединный перпендикуляр к отрезку AB, для чего:
— Проведем окружности радиуса AB из точек A и B;
— Проведем прямую через точки пересечения этих окружностей;
3) Согласно теореме 5.3 любая точка этого перпендикуляра равно-
удалена от точек A и B;
4) На пересечении перпендикуляра к отрезку AB и прямой a отметим
точку X;
5) Точка X-искомая.

Подробный ответ

Пусть даны точки $$A$$ и $$B$$ и прямая $$a$$.

Чтобы найти на прямой $$a$$ точку, равноудалённую от точек $$A$$ и $$B$$, построим серединный перпендикуляр к отрезку $$AB$$.

Для этого проведём окружности с центрами в точках $$A$$ и $$B$$ и одинаковым радиусом $$AB$$. Пусть точки их пересечения обозначены $$C$$ и $$D$$. Тогда прямая $$CD$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AB$$.

По свойству серединного перпендикуляра любая его точка равноудалена от точек $$A$$ и $$B$$. Поэтому искомая точка — это точка пересечения прямой $$a$$ с серединным перпендикуляром к отрезку $$AB$$.

Обозначим эту точку через $$X$$. Тогда $$X$$ — искомая точка, так как $$XA=XB$$.