Упр.6.46 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а другие две — на катетах. Найдите сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна $$3\ \text{м}$$.

Пусть $$ABC$$ — данный равнобедренный прямоугольный треугольник, где $$\angle B=90^\circ$$, $$AB=BC$$, а $$AC=3\text{ м}$$. Обозначим сторону вписанного квадрата через $$x$$.

Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный и прямоугольный, то

$$\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ.$$

Пусть квадрат $$FEA_1C_1$$ вписан так, что его две вершины лежат на гипотенузе $$AC$$, а две другие — на катетах. Тогда

$$FE=EA_1=A_1C_1=C_1F=x.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AFC_1$$. В нём $$\angle F=90^\circ$$ и $$\angle A=45^\circ$$, значит, $$\angle C_1=45^\circ$$. Следовательно, треугольник $$AFC_1$$ равнобедренный, поэтому

$$AF=C_1F=x.$$

Аналогично в прямоугольном треугольнике $$CEA_1$$ получаем

$$CE=EA_1=x.$$

Тогда

$$AC=AF+FE+EC=x+x+x=3x.$$

Так как $$AC=3\text{ м}$$, то

$$3x=3,$$

откуда

$$x=1\text{ м}.$$

Ответ: $$1\text{ м}$$.