Упр.11.46 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Биссектриса внешнего угла треугольника $$ABC$$ при вершине $$C$$ пересекает прямую $$AB$$ в точке $$D$$ (рис. 263). Докажите, что $$AD:BD=AC:BC$$.

На луче $$AC$$ за точкой $$C$$ отметим точку $$F$$. Через точку $$B$$ проведём прямую, параллельную прямой $$DC$$, и обозначим точку её пересечения с прямой $$AC$$ через $$E$$.

Так как $$BE \parallel DC$$, то

$$\angle BEC=\angle DCF$$

и

$$\angle EBC=\angle DCB$$

как соответственные и накрест лежащие углы при секущих $$AC$$ и $$BC$$.

Поскольку $$CD$$ — биссектриса внешнего угла $$BCF$$, имеем

$$\angle DCF=\angle DCB.$$

Следовательно,

$$\angle BEC=\angle EBC,$$

значит, треугольник $$BCE$$ равнобедренный, и потому

$$BC=CE.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ADC$$. Прямая $$BE$$ параллельна $$DC$$, поэтому по теореме о пропорциональных отрезках

$$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{CE}.$$

Так как $$CE=BC$$, получаем

$$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BC}.$$

Что и требовалось доказать.