Упр.5.45 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: точки A, B и C;
Построить: точку X одинаково удаленную от точек A и B и находя-
щуюся на данном расстоянии от точки C;
Построение:
1) Пусть даны точки A, B, C и отрезок h, равный расстояни.от точки C
до искомой точки X.
2) Построим серединный перпендикуляр к отрезку AB, для чего:
— Проведем окружности радиуса AB из точек A и B;
— Проведем прямую через точки пересечения этих окружностей;
3) Согласно теореме 5.3 любая точка этого перпендикуляра равно-
удалена от точек A и B;
4) Из точки C проведем окружность радиуса h и отметим точку X на
пересечении этой окружности и перпендикуляра к отрезку AB

Подробный ответ

Точка $$X$$ должна удовлетворять двум условиям:

$$XA=XB$$;
$$XC=h$$, где $$h$$ — заданное расстояние от точки $$C$$ до искомой точки.

Множество всех точек, равноудалённых от точек $$A$$ и $$B$$, — это серединный перпендикуляр к отрезку $$AB$$. Построим его.

Для этого проведём окружности с центрами в точках $$A$$ и $$B$$ и одинаковым радиусом $$AB$$. Прямая, проходящая через точки их пересечения, и будет серединным перпендикуляром к отрезку $$AB$$.

Теперь из точки $$C$$ проведём окружность радиуса $$h$$. Точка пересечения этой окружности с серединным перпендикуляром к $$AB$$ и есть искомая точка $$X$$.

Если окружность и серединный перпендикуляр пересекаются в двух точках, то обе они подходят.