Упр.9.45 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что ромбы равны, если у них равны диагонали.
Пусть даны ромбы $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$, у которых равны диагонали:
$$AC=A_1C_1,\qquad BD=B_1D_1.$$
Обозначим точки пересечения диагоналей через $$O$$ и $$O_1$$. В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, значит
$$AC\perp BD,\qquad A_1C_1\perp B_1D_1,$$
$$BO=OD,\qquad B_1O_1=O_1D_1.$$
Так как $$AC=A_1C_1$$, то отрезок $$AC$$ можно совместить с отрезком $$A_1C_1$$ движением так, что $$A$$ совпадёт с $$A_1$$, а $$C$$ — с $$C_1$$. Тогда середина $$O$$ отрезка $$AC$$ совпадёт с серединой $$O_1$$ отрезка $$A_1C_1$$.
Через точку $$O$$ проведём перпендикуляр к $$AC$$. На нём точки $$B$$ и $$D$$ определяются однозначно по условию
$$BO=OD.$$
Но для второго ромба точки $$B_1$$ и $$D_1$$ также лежат на перпендикуляре к $$A_1C_1$$ через $$O_1$$ и удовлетворяют
$$B_1O_1=O_1D_1.$$
Следовательно, при совмещении диагоналей точки $$B$$ и $$B_1$$ совпадают, а точки $$D$$ и $$D_1$$ тоже совпадают. Значит, при движении совпадают все вершины ромбов, то есть ромбы $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ равны.
Ответ: ромбы равны, если у них равны диагонали.
