Упр.14.45 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 45. Найдите радиусы окружностей, описанной около равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной b и вписанной в него.

Пусть $$ABC$$ — равнобедренный треугольник, у которого $$AC=a$$, $$AB=BC=b$$. Опустим из вершины $$B$$ высоту $$BH$$ на основание $$AC$$.

Так как треугольник равнобедренный, то высота $$BH$$ является также медианой, значит

$$AH=HC=\frac{a}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ по теореме Пифагора получаем:

$$ BH=\sqrt{AB^2-AH^2} =\sqrt{b^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}} =\frac{\sqrt{4b^2-a^2}}{2}. $$

Найдём площадь треугольника:

$$ S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH =\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{\sqrt{4b^2-a^2}}{2} =\frac{a\sqrt{4b^2-a^2}}{4}. $$

Радиус описанной окружности равен

$$ R=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S} =\frac{b\cdot b\cdot a}{4\cdot \frac{a\sqrt{4b^2-a^2}}{4}} =\frac{b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}. $$

Радиус вписанной окружности:

$$ r=\frac{2S}{AB+BC+AC} =\frac{2\cdot \frac{a\sqrt{4b^2-a^2}}{4}}{b+b+a} =\frac{a\sqrt{4b^2-a^2}}{2(2b+a)}. $$

Преобразуем выражение:

$$ r=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{4b^2-a^2}{(2b+a)^2}} =\frac{a}{2}\sqrt{\frac{(2b-a)(2b+a)}{(2b+a)^2}} =\frac{a}{2}\sqrt{\frac{2b-a}{2b+a}}. $$

Ответ

$$R=\frac{b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}},\qquad r=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{2b-a}{2b+a}}.$$