Упр.13.45 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: вне окружности радиуса R расположены n равных окружностей,
которые касаются друг друга и данной окружности;
Найти: радиусы этих окружностей, если их число равно 1) 3; 2) 4; 3) 6;
Решение:
1) Пусть O-центр окружности радиуса R, точки O1, O2, O3…On-центры
остальных окружностей, а r-их радиусы;
2) Построим n-угольник с вершинами в точках O1, O2, O3…On;
3) Как было доказано в предыдущей задаче n-угольник с вершинами в
центрах равных касающихся окружностей является правильным;
4) Окружности с центрами в точках O1 и O касаются в некоторой точке D,
значит через эту точку проходит их общая касательная, перпендикулярная
их радиусам, следовательно точки O1, D и O лежат на одной прямой OD:
OD=R и O1 D=r, тогда O1 O=OD+O1 D=R+r;
5) Аналогично доказывается, что все остальные точки O1, O2, O3, …, On
удалены от точки O на расстояние (R+r), следовательно точка O
является центром нашего многоугольника;
6) Радиус окружности, описанной около n- угольника.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр данной окружности радиуса $$R$$, а $$O_1, O_2, \ldots, O_n$$ — центры равных окружностей радиуса $$r$$.

Так как все эти окружности касаются друг друга, то точки $$O_1, O_2, \ldots, O_n$$ являются вершинами правильного $$n$$-угольника. Кроме того, каждая из окружностей касается данной окружности, значит для любой из них

$$OO_1=R+r.$$

Следовательно, $$O$$ — центр описанной окружности правильного $$n$$-угольника, а его радиус равен $$R+r$$.

Для правильного $$n$$-угольника со стороной $$2r$$ имеем формулу радиуса описанной окружности:

$$R+r=\frac{2r}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}=\frac{r}{\sin\frac{180^\circ}{n}}.$$

Отсюда

$$r\left(\frac{1}{\sin\frac{180^\circ}{n}}-1\right)=R,$$

то есть

$$r=\frac{R}{\frac{1}{\sin\frac{180^\circ}{n}}-1}.$$

Теперь подставим значения $$n$$.

1) Если $$n=3$$, то

$$ r=\frac{R}{\frac{1}{\sin 60^\circ}-1} =\frac{R}{\frac{2}{\sqrt3}-1} =\frac{R\sqrt3}{2-\sqrt3} =R(2\sqrt3+3). $$

2) Если $$n=4$$, то