Упр.6.45 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. В квадрат (рис. 146) вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Найдите стороны прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна $$12\ \text{м}$$.

Пусть $$ABCD$$ — данный квадрат, а $$EFGH$$ — вписанный в него прямоугольник. Обозначим через $$M$$ и $$K$$ точки пересечения диагонали $$AC$$ со сторонами прямоугольника.

Так как в квадрате диагональ $$AC$$ биссектрисса углов $$A$$ и $$C$$, а стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата, то

$$\angle FAK=\angle KAE=\angle GCM=\angle MCH.$$

Кроме того, $$AC \perp BD$$, а значит, поскольку $$GH \parallel BD$$, имеем $$AC \perp GH$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$GCH$$. Отрезок $$CM$$ является в нём и высотой, и биссектрисой, следовательно, $$\triangle GCH$$ равнобедренный. Поэтому

$$GM=MC=MH.$$

Аналогично для треугольника $$FAE$$ получаем

$$FK=AK=KE.$$

Так как противоположные стороны прямоугольника равны, то $$FE=GH$$. Тогда из равенства $$FK=FE$$ следует, что

$$AK=MC.$$

Следовательно,

$$GH=GM+MH=MC+AK.$$

Четырёхугольник $$FGMK$$ — прямоугольник, так как его стороны параллельны диагоналям квадрата, а диагонали квадрата перпендикулярны. Значит,

$$FG=KM.$$

Пусть $$MC=AK=x$$. Тогда

$$GH=MC+AK=2x,$$

а диагональ квадрата

$$AC=MC+AK+KM=x+2x+x=4x.$$

По условию $$AC=12$$, значит

$$4x=12,\qquad x=3.$$

Тогда стороны прямоугольника равны

$$FE=GH=2x=6\text{ м},$$

$$EH=FG=4x=12\text{ м}.$$

Ответ: $$6\text{ м}$$ и $$12\text{ м}$$.