Упр.9.45 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: ромбы равны, если их диагонали равны;
Доказательство:
1) Пусть даны ромбы ABCD и A1 B1 C1 D1, у которых диагонали равны:
AC=A1 C1 и BD=B1 D1;
2) У ромба ABCD диагонли пересекаются в точке O, а у ромба A1 B1 C1 D1
в точке O1;
3) По свойству ромба: AC перпендикулярен BD, A1 C1 перпендикулярен B1 D1, BO=OD=B1 O1=O1 D1;
4) Как было доказано в задаче 9.43 отрезки AC и A1 C1 можно совместить
движением, при этом точка A совпадет с точкой A1, а точка C-с точкой C1;
5) Тогда середина O отрезка AC совпадает с серединой O1 отрезка A1 C1;
6) Остальные вершины ромба лежат на перпендикуляре к отрезку AC,
проведенному через точку O, на расстоянии BO от этой точки;
7) Точка O разбивает этот перпендикуляр на две полупрямых, на каждой
из которых от точки O можно отложить только по одному отрезку
заданной длины, следовательно точка B совпадает с точкой B1, а точка
D-с точкой D1;
8) Таким образом, у ромбов ABCD и A1 B1 C1 D1 при движении совпадают
все вершины, значит совпадают сами ромбы, а следовательно они равны,
что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть даны ромбы $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$, у которых равны диагонали:

$$AC=A_1C_1,\qquad BD=B_1D_1.$$

Обозначим точки пересечения диагоналей через $$O$$ и $$O_1$$ соответственно. В ромбе диагонали пересекаются и делятся пополам, а также перпендикулярны друг другу, значит

$$AC\perp BD,\qquad A_1C_1\perp B_1D_1,$$

$$BO=OD,\qquad B_1O_1=O_1D_1.$$

Так как $$AC=A_1C_1$$, то можно совместить отрезок $$AC$$ с отрезком $$A_1C_1$$ движением так, что $$A$$ совпадёт с $$A_1$$, а $$C$$ — с $$C_1$$. Тогда середина $$O$$ отрезка $$AC$$ совпадёт с серединой $$O_1$$ отрезка $$A_1C_1$$.

Остальные вершины ромба лежат на перпендикуляре к диагонали $$AC$$, проведённом через точку $$O$$, и находятся на расстоянии $$BO$$ от точки $$O$$. Но на каждой из двух полупрямых этого перпендикуляра можно отложить только один отрезок данной длины. Поэтому точка $$B$$ совпадает с точкой $$B_1$$, а точка $$D$$ — с точкой $$D_1$$.

Следовательно, при движении совпадают все вершины ромбов $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$, значит, эти ромбы равны.