Упр.14.45 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Найдите радиусы окружностей, описанной около равнобедренного треугольника с основанием $$a$$ и боковой стороной $$b$$, и вписанной в него.

Пусть $$ABC$$ — данный равнобедренный треугольник, где $$AC=a$$, $$AB=BC=b$$.

Опустим из вершины $$B$$ высоту $$BH$$ на основание $$AC$$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, значит

$$AH=HC=\frac{a}{2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. По теореме Пифагора:

$$BH=\sqrt{AB^2-AH^2} =\sqrt{b^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}} =\frac{\sqrt{4b^2-a^2}}{2}.$$

Найдём площадь треугольника:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH =\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{\sqrt{4b^2-a^2}}{2} =\frac{a\sqrt{4b^2-a^2}}{4}.$$

Радиус описанной окружности равен

$$R=\frac{abc}{4S}.$$

Так как $$a=AC$$, $$b=BC$$, $$c=AB$$ и здесь $$AB=BC=b$$, получаем

$$R=\frac{a\cdot b\cdot b}{4S} =\frac{ab^2}{4\cdot \frac{a\sqrt{4b^2-a^2}}{4}} =\frac{b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}.$$

Радиус вписанной окружности:

$$r=\frac{2S}{P},$$

где $$P=AB+BC+AC=2b+a$$ — периметр треугольника. Тогда

$$r=\frac{2\cdot \frac{a\sqrt{4b^2-a^2}}{4}}{2b+a} =\frac{a\sqrt{4b^2-a^2}}{2(2b+a)}.$$

Преобразуем:

$$r=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{4b^2-a^2}{(2b+a)^2}} =\frac{a}{2}\sqrt{\frac{(2b-a)(2b+a)}{(2b+a)^2}} =\frac{a}{2}\sqrt{\frac{2b-a}{2b+a}}.$$

Ответ: $$R=\frac{b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}},\quad r=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{2b-a}{2b+a}}.$$