Упр.13.45 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Решите предыдущую задачу, если окружности расположены вне данной окружности.
Дано: вне окружности радиуса $$R$$ расположены $$n$$ равных окружностей, которые касаются друг друга и данной окружности.
Найти: радиусы этих окружностей, если их число равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр данной окружности радиуса $$R$$, а $$O_1, O_2, \dots, O_n$$ — центры равных окружностей радиуса $$r$$.

Так как все эти окружности попарно касаются и касаются данной окружности, то точки $$O_1, O_2, \dots, O_n$$ лежат на окружности с центром $$O$$. При этом расстояние от $$O$$ до каждого из центров равно

$$OO_1=R+r.$$

Центры равных касающихся окружностей образуют правильный $$n$$-угольник, вписанный в окружность радиуса $$R+r$$. Тогда его сторона равна $$2r$$, а радиус описанной окружности равен

$$R+r=\frac{2r}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}=\frac{r}{\sin\frac{180^\circ}{n}}.$$

Отсюда

$$R+r=\frac{r}{\sin\frac{180^\circ}{n}},$$

$$R=r\left(\frac{1}{\sin\frac{180^\circ}{n}}-1\right),$$

$$r=\frac{R}{\frac{1}{\sin\frac{180^\circ}{n}}-1}.$$

Теперь подставим значения $$n$$.

Если $$n=3$$, то
$$r=R\left(\frac{1}{\sin 60^\circ}-1\right)=R\left(\frac{2}{\sqrt3}-1\right)=R\cdot\frac{2-\sqrt3}{\sqrt3}=R(2\sqrt3+3).$$
Если $$n=4$$, то
$$r=R\left(\frac{1}{\sin 45^\circ}-1\right)=R\left(\frac{2}{\sqrt2}-1\right)=R(\sqrt2+1).$$
Если $$n=6$$, то
$$r=R\left(\frac{1}{\sin 30^\circ}-1\right)=R(2-1)=R.$$