Упр.11.45 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

В треугольник ABC вписан ромб ADEF так, что угол А у них общий, а вершина Е находится на стороне ВС (рис. 262). Найдите сторону ромба, если $$AB=c$$ и $$AC=b$$.

Подробный ответ

Пусть сторона ромба $$ADEF$$ равна $$x$$. Тогда

$$AD=DE=EF=AF=x.$$

Так как $$ADEF$$ — ромб, его диагональ $$AE$$ является биссектрисой угла $$A$$. Значит, в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$AE$$ — биссектриса, и по теореме о биссектрисе

$$\frac{BE}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}.$$

Рассмотрим треугольники $$DBE$$ и $$FEC$$. Прямые $$DE$$ и $$AC$$ параллельны, а прямые $$AB$$ и $$EF$$ параллельны, поэтому

$$\angle BED=\angle ECF,$$

$$\angle DBE=\angle FEC.$$

Следовательно, треугольники $$DBE$$ и $$FEC$$ подобны, откуда

$$\frac{BE}{CE}=\frac{BD}{FE}.$$

Но $$BD=AB-AD=c-x,$$ а $$FE=x$$, значит

$$\frac{BE}{CE}=\frac{c-x}{x}.$$

Тогда

$$\frac{c}{b}=\frac{c-x}{x}.$$

Решим уравнение:

$$cx=b(c-x)$$