Упр.10.44 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Даны четыре точки $$A(0; 0)$$, $$B(1; 1)$$, $$C(0; 2)$$, $$D(-1; 1)$$. Докажите, что четырёхугольник $$ABCD$$ — квадрат.

Найдём координаты векторов:

$$\overrightarrow{AB}=(1-0;\,1-0)=(1;\,1),$$

$$\overrightarrow{DC}=(-1-0;\,1-2)=(-1;\,-1),$$

$$\overrightarrow{BC}=(0-1;\,2-1)=(-1;\,1).$$

Так как $$\overrightarrow{AB}=\,-\overrightarrow{DC},$$ то $$AB \parallel CD$$ и $$AB=CD.$$

Кроме того,

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=1\cdot(-1)+1\cdot1=0,$$

значит, $$AB \perp BC.$$

Следовательно, четырёхугольник $$ABCD$$ — параллелограмм с прямым углом, то есть прямоугольник.

Найдём диагонали:

$$\overrightarrow{AC}=(0-0;\,2-0)=(0;\,2),$$

$$\overrightarrow{BD}=(-1-1;\,1-1)=(-2;\,0).$$

Их скалярное произведение равно

$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0\cdot(-2)+2\cdot0=0,$$

значит, $$AC \perp BD.$$

У прямоугольника, у которого диагонали перпендикулярны, все стороны равны, следовательно, $$ABCD$$ — ромб. Так как $$ABCD$$ одновременно прямоугольник и ромб, то это квадрат.

Ответ: $$ABCD$$ — квадрат.