Упр.9.44 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

У параллелограммов $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ $$AB=A_1B_1$$, $$AD=A_1D_1$$ и $$\angle A=\angle A_1$$. Докажите, что параллелограммы равны, т. е. совмещаются движением.

Подробный ответ

Рассмотрим параллелограммы $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$. По условию $$AB=A_1B_1$$, $$AD=A_1D_1$$ и $$\angle A=\angle A_1$$.

Совместим движением угол $$A_1$$ с углом $$A$$ так, чтобы вершина $$A_1$$ совпала с вершиной $$A$$, луч $$A_1B_1$$ — с лучом $$AB$$, а луч $$A_1D_1$$ — с лучом $$AD$$.

Тогда на совпавших лучах от точки $$A$$ можно отложить только один отрезок данной длины, значит, точка $$B_1$$ совпадёт с точкой $$B$$, а точка $$D_1$$ — с точкой $$D$$.

Остаётся определить четвёртую вершину параллелограмма. По свойству параллелограмма через точку $$B$$ проводится прямая, параллельная $$AD$$, а через точку $$D$$ — прямая, параллельная $$AB$$. Их пересечение единственно, значит, вершины $$C$$ и $$C_1$$ также совпадут.

Следовательно, при движении совпадают все вершины параллелограммов $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$. Значит, эти параллелограммы равны.