Упр.10.44 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 44. Даны четыре точки А (0; 0), В (1; 1), С (0; 2), D (-1; 1). Докажите, что четырёхугольник ABCD — квадрат.

Подробный ответ

Найдём координаты векторов $$\overrightarrow{AB}$$, $$\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{DC}$$:

$$\overrightarrow{AB}=(1-0;\,1-0)=(1;\,1),$$

$$\overrightarrow{BC}=(0-1;\,2-1)=(-1;\,1),$$

$$\overrightarrow{DC}=(0-(-1);\;2-1)=(1;\,1).$$

Получаем, что $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$$. Значит, $$AB \parallel CD$$ и $$AB=CD$$.

Теперь найдём скалярное произведение векторов $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$:

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=1\cdot(-1)+1\cdot 1=-1+1=0.$$

Следовательно, $$AB \perp BC$$, то есть угол $$B$$ прямой.

Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон параллельна и равна, то это параллелограмм. Значит, $$ABCD$$ — параллелограмм. Так как у него есть прямой угол, то $$ABCD$$ — прямоугольник.

Найдём диагонали:

$$\overrightarrow{AC}=(0-0;\,2-0)=(0;\,2),$$

$$\overrightarrow{BD}=(-1-1;\,1-1)=(-2;\,0).$$

Их скалярное произведение равно:

$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0\cdot(-2)+2\cdot 0=0.$$

Значит, $$AC \perp BD$$. Прямоугольник с перпендикулярными диагоналями — ромб. Следовательно, $$ABCD$$ — ромб.

Итак, четырёхугольник $$ABCD$$ одновременно является прямоугольником и ромбом, значит, это квадрат.