Упр.5.44 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что: 1) прямые, содержащие высоты данного треугольника, являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника, образованного прямыми, проходящими через вершины данного треугольника параллельно соответствующим противолежащим сторонам; 2) все три прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, а $$A_1B_1C_1$$ — треугольник, построенный так, что через каждую вершину проведена прямая, параллельная противолежащей стороне.
Докажем сначала, что прямая, содержащая высоту $$BH$$ треугольника $$ABC$$, является серединным перпендикуляром к стороне $$A_1C_1$$ треугольника $$A_1B_1C_1$$.
Так как $$A_1C_1 \parallel AC$$, то из перпендикулярности высоты получаем
$$BH \perp A_1C_1.$$
Теперь сравним треугольники $$ABC_1$$ и $$CBA_1$$.
Имеем:
- $$\angle ABC = \angle BCA_1$$, так как $$A_1B_1 \parallel AB$$;
- $$\angle ACB = \angle CBA_1$$, так как $$A_1C_1 \parallel AC$$.
Следовательно, треугольники $$ABC_1$$ и $$CBA_1$$ равны по двум углам и стороне между ними, откуда
$$BC_1 = BA_1.$$
Значит, точка $$B$$ равноудалена от концов отрезка $$A_1C_1$$, а прямая $$BH$$ перпендикулярна этому отрезку. Следовательно, $$BH$$ — серединный перпендикуляр к стороне $$A_1C_1$$.
Аналогично доказывается, что прямые, содержащие две другие высоты треугольника $$ABC$$, являются серединными перпендикулярами к двум другим сторонам треугольника $$A_1B_1C_1$$.
Теперь докажем, что все три прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Действительно, серединные перпендикуляры к сторонам одного треугольника пересекаются в центре описанной около него окружности. Значит, прямые, содержащие высоты треугольника $$ABC$$, пересекаются в одной точке — в центре окружности, описанной около треугольника $$A_1B_1C_1$$.
Ответ
Прямые, содержащие высоты треугольника, являются серединными перпендикулярами к сторонам построенного треугольника; все три высоты пересекаются в одной точке.
