Упр.14.44 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Боковая сторона равнобедренного треугольника 6 см, высота, проведённая к основанию, 4 см. Найдите радиус описанной окружности.

Пусть $$ABC$$ — данный равнобедренный треугольник, где $$AB=BC=6$$ см, а $$BH$$ — высота, проведённая к основанию $$AC$$, причём $$BH=4$$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$:

$$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\text{ см}.$$

Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный, то высота $$BH$$ является также медианой. Значит,

$$AH=\frac{1}{2}AC,$$

откуда

$$AC=2AH=4\sqrt{5}\text{ см}.$$

Найдём площадь треугольника:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{5}\cdot 4=8\sqrt{5}\text{ см}^2.$$

Радиус описанной окружности треугольника вычислим по формуле

$$R=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S}.$$

Подставим значения:

$$R=\frac{6\cdot 6\cdot 4\sqrt{5}}{4\cdot 8\sqrt{5}}=\frac{36}{8}=4{,}5\text{ см}.$$

Ответ: $$4{,}5\text{ см}.$$