Упр.13.44 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Внутри окружности радиуса $$R$$ расположены $$n$$ равных окружностей, которые касаются друг друга и данной окружности. Найдите радиусы этих окружностей, если число их равно: 1) $$3$$; 2) $$4$$; 3) $$6$$ (рис. 295).
Пусть $$O$$ — центр большой окружности радиуса $$R$$, а $$O_1, O_2, \dots, O_n$$ — центры равных окружностей радиуса $$r$$.
Соединим центры соседних малых окружностей. Тогда сторона полученного $$n$$-угольника равна $$2r$$, так как соседние окружности касаются друг друга.
Поскольку все малые окружности касаются большой, расстояние от центра $$O$$ до каждого центра $$O_i$$ равно $$R-r$$. Значит, все точки $$O_1, O_2, \dots, O_n$$ лежат на окружности с центром в $$O$$, а многоугольник $$O_1O_2\dots O_n$$ — правильный.
Для правильного $$n$$-угольника со стороной $$2r$$ радиус описанной окружности равен
$$R-r=\frac{2r}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}=\frac{r}{\sin\frac{180^\circ}{n}}.$$
Отсюда
$$r=R\cdot \frac{\sin\frac{180^\circ}{n}}{1+\sin\frac{180^\circ}{n}}.$$
Теперь подставим значения $$n$$.
Если $$n=3$$, то
$$r=R\cdot \frac{\sin 60^\circ}{1+\sin 60^\circ} =R\cdot \frac{\frac{\sqrt3}{2}}{1+\frac{\sqrt3}{2}} =R\cdot \frac{\sqrt3}{\sqrt3+2}.$$
Если $$n=4$$, то
$$r=R\cdot \frac{\sin 45^\circ}{1+\sin 45^\circ} =R\cdot \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{1+\frac{\sqrt2}{2}} =R\cdot \frac{\sqrt2}{\sqrt2+2} =\frac{R}{\sqrt2+1}.$$
Если $$n=6$$, то
$$r=R\cdot \frac{\sin 30^\circ}{1+\sin 30^\circ} =R\cdot \frac{\frac12}{1+\frac12} =\frac{R}{3}.$$
Ответ: 1) $$\dfrac{R\sqrt3}{\sqrt3+2}$$; 2) $$\dfrac{R}{\sqrt2+1}$$; 3) $$\dfrac{R}{3}$$.
