Упр.9.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что отрезки равной длины и углы с равной градусной мерой совмещаются движением.

Подробный ответ

Пусть даны отрезки $$AB$$ и $$CD$$, причём $$AB=CD$$. Перенесём отрезок $$CD$$ параллельным переносом так, чтобы точка $$C$$ совпала с точкой $$A$$. Тогда отрезок $$CD$$ перейдёт в отрезок $$AD’$$, и по свойству параллельного переноса

$$AD’=CD=AB.$$

Теперь повернём отрезок $$AD’$$ вокруг точки $$A$$ на угол $$\angle BAD’$$. При этом точка $$D’$$ совместится с точкой $$B$$. Значит, отрезок $$CD$$ в результате двух движений совместился с отрезком $$AB$$.

Следовательно, отрезки равной длины совмещаются движением.

Пусть теперь даны равные углы $$\angle AOB$$ и $$\angle CO_1D$$. Перенесём угол $$\angle AOB$$ параллельным переносом так, чтобы точка $$O$$ совпала с точкой $$O_1$$. Тогда угол перейдёт в угол $$\angle C’OD’$$, причём

$$\angle C’OD’=\angle AOB.$$

Повернём угол $$\angle C’OD’$$ вокруг точки $$O$$ на угол, равный $$\angle C’OA$$. Тогда луч $$OC’$$ совместится с лучом $$OA$$, а луч $$OD’$$ — с лучом $$OB$$. Значит, угол $$\angle CO_1D$$ в результате движения совместился с углом $$\angle AOB$$.

Следовательно, углы с равной градусной мерой совмещаются движением.