Упр.6.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Диагональ квадрата равна $$4\ \text{м}$$. Сторона его равна диагонали другого квадрата. Найдите сторону последнего.
Пусть $$ABCD$$ — данный квадрат, у которого $$AC=BD=4\text{ м}$$, а диагонали пересекаются в точке $$O$$. Тогда
$$AO=OC=BO=OD=\frac{4}{2}=2\text{ м}.$$
В квадрате диагональ делит угол пополам, значит
$$\angle CDO=\angle DCO=45^\circ,$$
а также $$\angle COD=90^\circ$$.
На концах отрезка $$CD$$ построим углы по $$45^\circ$$, их вторые стороны пересекутся в точке $$O_1$$.
Рассмотрим треугольник $$CO_1D$$. В нём
$$\angle DCO_1=\angle O_1DC=45^\circ,$$
следовательно,
$$\angle CO_1D=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ.$$
Значит, треугольник $$CO_1D$$ равнобедренный прямоугольный, поэтому
$$CO_1=O_1D.$$
Теперь найдём углы четырёхугольника $$DOCO_1$$:
$$\angle O_1DO=\angle O_1DC+\angle CDO=45^\circ+45^\circ=90^\circ,$$
$$\angle O_1CO=\angle O_1CD+\angle DCO=45^\circ+45^\circ=90^\circ.$$
Следовательно, все углы четырёхугольника $$DOCO_1$$ прямые, значит, это прямоугольник. Так как у него соседние стороны равны, то это квадрат.
В этом квадрате диагональ $$CD$$ равна $$4\text{ м}$$, значит его сторона равна
$$CO=\frac{CD}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\text{ м}.$$
Ответ: $$2\sqrt{2}\text{ м}$$.
