Упр.5.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что:

1) около любого треугольника можно описать окружность, и только одну; 2) в любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $$AC$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$. Тогда по свойству серединного перпендикуляра имеем $$OA=OC$$ и $$OB=OC$$, значит $$OA=OB=OC$$. Следовательно, точка $$O$$ равноудалена от всех вершин треугольника, а значит, является центром окружности, проходящей через точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Около треугольника можно описать окружность.

Серединные перпендикуляры двух сторон треугольника пересекаются только в одной точке, поэтому такая окружность единственная.

Теперь докажем, что в любой треугольник можно вписать окружность. Из произвольной точки биссектрисы угла опустим перпендикуляры на его стороны. Треугольники, образованные этими перпендикулярами, равны по гипотенузе и острому углу, поэтому расстояния от точки биссектрисы до сторон угла равны.

Пусть $$O$$ — точка пересечения биссектрис $$AA_1$$ и $$CC_1$$ треугольника $$ABC$$. Тогда $$O$$ равноудалена от сторон $$AB$$ и $$AC$$, а также от сторон $$AC$$ и $$BC$$. Значит, $$O$$ равноудалена от всех сторон треугольника, то есть является центром окружности, вписанной в треугольник $$ABC$$.

Биссектрисы треугольника пересекаются только в одной точке, поэтому вписанная окружность единственна.

Ответ: около любого треугольника можно описать окружность, и только одну; в любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.