Упр.4.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом $$30^\circ$$ катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.

Пусть $$ABC$$ — прямоугольный треугольник, $$\angle C=90^\circ$$, $$\angle B=30^\circ$$. Тогда

$$\angle A=180^\circ-\angle B-\angle C=180^\circ-30^\circ-90^\circ=60^\circ.$$

Построим треугольник $$DBC$$, равный треугольнику $$ABC$$, как показано на рисунке. Тогда $$BC=BC$$, $$\angle DBC=\angle ABC=30^\circ$$ и $$\angle BCD=\angle ACB=90^\circ$$.

Следовательно, угол $$ABD$$ равен

$$\angle ABD=\angle ABC+\angle CBD=30^\circ+30^\circ=60^\circ.$$

В треугольнике $$ABD$$ имеем

$$\angle A=60^\circ,\quad \angle B=60^\circ,\quad \angle D=60^\circ,$$

значит, треугольник $$ABD$$ равносторонний. Поэтому

$$AB=AD.$$

Так как точка $$C$$ — середина отрезка $$AD$$, то

$$AC=\frac{1}{2}AD.$$

Следовательно,

$$AC=\frac{1}{2}AB.$$

Итак, в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы.