Упр.15.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите объём усечённой пирамиды с площадями оснований $$Q_1$$ и $$Q_2$$ ($$Q_1 > Q_2$$) и высотой $$h$$.

Рассмотрим усечённую пирамиду как разность двух подобных пирамид: большой с площадью основания $$Q_1$$ и малой с площадью основания $$Q_2$$.

Пусть коэффициент подобия большой и малой пирамид равен $$k$$. Тогда для площадей оснований имеем

$$\frac{Q_1}{Q_2}=k^2,\qquad k=\sqrt{\frac{Q_1}{Q_2}}.$$

Обозначим высоты этих пирамид через $$h_1$$ и $$h_2$$. Тогда

$$h=h_1-h_2,\qquad h_1=kh_2.$$

Отсюда

$$h=kh_2-h_2=h_2(k-1),$$

значит

$$h_2=\frac{h}{k-1}.$$

Объём меньшей пирамиды:

$$V_2=\frac{1}{3}Q_2h_2=\frac{1}{3}Q_2\cdot \frac{h}{k-1}.$$

Так как пирамиды подобны, их объёмы относятся как кубы соответствующих линейных размеров:

$$V_1=k^3V_2.$$

Тогда объём усечённой пирамиды равен

$$V=V_1-V_2=V_2(k^3-1)=\frac{1}{3}Q_2\cdot \frac{h}{k-1}(k^3-1).$$

Используем формулу разности кубов:

$$k^3-1=(k-1)(k^2+k+1).$$

Тогда

$$V=\frac{1}{3}Q_2h(k^2+k+1).$$

Подставим $$k=\sqrt{\frac{Q_1}{Q_2}}$$:

$$V=\frac{h}{3}\left(Q_2+\sqrt{Q_1Q_2}+Q_1\right).$$

Ответ

$$V=\frac{h}{3}\left(Q_1+\sqrt{Q_1Q_2}+Q_2\right).$$