Упр.4.42 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 42. Из вершины тупого угла В треугольника АBС проведена высота BD. Найдите углы треугольников ABD и CBD, зная, что угол А = альфа, угол В = бета. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 pogorelov7-9 4-42 76

Так как $$BD$$ — высота треугольника $$ABC$$, то

$$\angle BDC=\angle BDA=90^\circ.$$

Сумма углов треугольника $$ABC$$ равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-(\alpha+\beta).$$

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. В нём

$$\angle BAD+\angle ADB+\angle DBA=180^\circ,$$

откуда

$$\angle DBA=180^\circ-\angle BAD-\angle ADB=180^\circ-\alpha-90^\circ=90^\circ-\alpha.$$

Теперь найдём угол $$DBC$$. Так как $$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC,$$ то

$$\angle DBC=\angle ABC-\angle ABD=\beta-(90^\circ-\alpha)=\alpha+\beta-90^\circ.$$

В треугольнике $$BDC$$ тогда

$$\angle DCB=180^\circ-\angle BDC-\angle DBC=180^\circ-90^\circ-(\alpha+\beta-90^\circ)=180^\circ-\alpha-\beta.$$

Итак, углы треугольников равны:

$$\triangle ABD:\ \angle BAD=\alpha,\ \angle ADB=90^\circ,\ \angle ABD=90^\circ-\alpha;$$

$$\triangle CBD:\ \angle BDC=90^\circ,\ \angle DBC=\alpha+\beta-90^\circ,\ \angle DCB=180^\circ-\alpha-\beta.$$

Ответ

$$\angle BDC=\angle BDA=90^\circ,\ \angle BAD=\alpha,\ \angle ABD=90^\circ-\alpha,\ \angle DBC=\alpha+\beta-90^\circ,\ \angle DCB=180^\circ-\alpha-\beta.$$