Упр.9.42 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

42. Докажите, что в предыдущей задаче каждая сторона треугольника ABC видна из точки, в которой располагается комбинат, под углом 120°.

Воспользуемся построениями из предыдущей задачи.

$$\triangle AKK_1$$ — равносторонний, значит $$\angle K_1KA=60^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$BKK_2$$. Так как $$BK=BK_2$$ и $$\angle KBK_2=60^\circ,$$ то $$\triangle BKK_2$$ тоже равносторонний. Следовательно, $$\angle BKK_2=60^\circ.$$

Углы $$\angle K_1KK_2$$ и $$\angle K_1KA$$ смежные, поэтому

$$\angle K_1KK_2=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

Тогда

$$\angle K_1KB=\angle K_1KK_2-\angle BKK_2=120^\circ-60^\circ=60^\circ.$$

Теперь найдём угол $$\angle AKB$$:

$$\angle AKB=\angle K_1KA+\angle K_1KB=60^\circ+60^\circ=120^\circ.$$

Аналогично, углы $$\angle K_1KB$$ и $$\angle BKC$$ смежные, значит

$$\angle BKC=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

И, наконец, углы $$\angle AKC$$ и $$\angle K_1KA$$ смежные, поэтому

$$\angle AKC=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

Итак, каждая сторона треугольника $$ABC$$ видна из точки $$K$$ под углом $$120^\circ.$$