Упр.6.42 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- На каждой стороне квадрата $$ABCD$$ отложены равные отрезки: $$AA_1=BB_1=CC_1=DD_1$$. Докажите, что четырёхугольник $$A_1B_1C_1D_1$$ есть квадрат (рис. 145).
Так как $$ABCD$$ — квадрат, то $$AB=BC=CD=DA$$ и все его углы прямые.
По условию $$AA_1=BB_1=CC_1=DD_1$$. Тогда
$$A_1B=AB-AA_1,\quad B_1C=BC-BB_1,\quad C_1D=CD-CC_1,\quad D_1A=DA-DD_1.$$
Поскольку $$AB=BC=CD=DA$$ и вычитаются равные отрезки, получаем:
$$A_1B=B_1C=C_1D=D_1A.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$BB_1A_1$$, $$CC_1B_1$$, $$DD_1C_1$$ и $$AA_1D_1$$. У них равны катеты:
$$BB_1=CC_1=DD_1=AA_1,$$
$$BA_1=CB_1=DC_1=AD_1.$$
Следовательно, эти треугольники равны по двум катетам, значит,
$$A_1B_1=B_1C_1=C_1D_1=D_1A_1.$$
Итак, четырёхугольник $$A_1B_1C_1D_1$$ — ромб.
Теперь докажем, что один из его углов прямой. В треугольнике $$BB_1A_1$$ угол $$BB_1A_1$$ прямой, так как $$BB_1\perp BA_1$$. Поэтому
$$\angle BA_1B_1+\angle BB_1A_1=90^\circ.$$
Аналогично из равенства треугольников и свойств углов при вершине $$B_1$$ получаем
$$\angle A_1B_1C_1=90^\circ.$$
Точно так же доказывается, что остальные углы четырёхугольника $$A_1B_1C_1D_1$$ тоже прямые.
Значит, $$A_1B_1C_1D_1$$ — ромб с прямыми углами, то есть квадрат.
Ответ: $$A_1B_1C_1D_1$$ — квадрат.
